Question

某校數學研究性學習小組準備設計一種高為60cm的簡易廢紙箱．如圖甲，廢紙箱的一面利用墻，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一張邊長為60cm的正方形硬紙板圍成．經研究發現：由于廢紙箱的高是確定的，所以廢紙箱的橫截面圖形面積越大，則它的容積越大．該小組通過多次嘗試，最終選定乙圖中的簡便且易操作的三種橫截面圖形．在三個圖的比較中，圖

 

橫截面圖形的面積最大（填序號①②③），則圍成最大的體積是

 

cm³．（結果保留根號）

Answer 1

分析：用x表示出三個圖形的面積，利用棱柱的體積=底面積×高可知，高一定，面積大的體積一定大又從解答．

解答：解：①三角形的面積為：

1

2

x（60-x）=-

1

2

x²+30x=-

1

2

（x-30）²+450，
當x=30時，三角形的面積最大為450cm²；
②矩形的面積為：x（60-2x）=-2x²+60x=-2（x-15）²+450，
當x=15時，矩形的面積最大為450cm²；
③等腰梯形的面積為：

3

2

x（60-2x）+2×

1

2

×

1

2

x×

3

2

x=-

3 3

4

x²+30

3

x=-

3 3

4

（x-20）²+300

3

，
當x=20時，等腰梯形的面積最大為300

3

cm²；
因此圍成最大的體積是300

3

×60=18000

3

cm³．
故答案為：③、18000

3

．

點評：此題主要利用三角形、矩形、等腰梯形的面積計算公式列出二次函數，進一步用配方法求得最大值，再利用棱柱體積計算出結果解決問題．