Question

（2012•鞍山二模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60°．
（1）求⊙O的直徑；
（2）若D是AB延長線上一點，連接CD，當BD長為多少時，CD與⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）由AB為圓O的直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠C=90°，又∠ABC=60°得到∠A=30°，根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，由BC求出AB的長，即為圓O的直徑；
（2）DB=OB時，CD與圓O相切，理由為：由OC=OB得到△OCB為等腰三角形，又∠ABC為60°，故△OCB為等邊三角形，進而得到CB=OB=OC，而OB=BD，故CB=OB=BD，根據一邊上的中線等于這邊的一半，得到這邊所對的角為直角，即∠OCD為直角，故DC與圓O相切．

解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C=90°，
又弦BC=4cm，∠ABC=60°，
∴∠A=30°，
則⊙O的直徑AB=2BC=4cm；

（2）∵∠ABC=60°，OC=OB，
∴△OCB為等邊三角形，
∴CB=OB=BD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是圓O的切線．即當BD=BC=2cm時，CD與圓O的相切．

點評：此題綜合考查了切線的性質，圓周角定理，其中證明切線的方法有：1、有點連接此點與半徑，證明夾角為直角；2、無點作垂線，證明垂線段等于半徑．