Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+4與x軸交于A（-2，0）、B（4、0）兩點，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）T是拋物線對稱軸上的一點，且△ATC是以AC為底的等腰三角形，求點T的坐標；
（3）M、Q兩點分別從A、B點以每秒1個單位長度的速度沿x軸同時出發相向而行，當點M到原點時，點Q立刻掉頭并以每秒

3

2

個單位長度的速度向點B方向移動，當點M到達拋物線的對稱軸時，兩點停止運動，過點M的直線l⊥x軸交AC或BC于點P．求點M的運動時間t與△APQ面積S的函數關系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）把A、B的坐標代入拋物線的解析式得到方程組，求出方程組的解即可；
（2）設直線x=1上一點T（1，h），連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，根據TA=TC由勾股定理求出即可；
（3）（I）當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根據三角形的面積公式求出即可；
（II）當2＜t≤3時，作PM⊥x軸于M，PF⊥y軸于點F，表示出三角形APQ的面積，利用配方法求出最值即可．

解答：解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入y=ax²+bx+4得：

4a-2b+4=0 16a+4b+4=0

，
解得：a=-

1

2

，b=1，
∴拋物線的解析式是：y=-

1

2

x²+x+4，
答：拋物線的解析式是y=-

1

2

x²+x+4．

（2）由y=-

1

2

x²+x+4=-

1

2

（x-1）²+

9

2

，得拋物線的對稱軸為直線x=1，
直線x=1交x軸于點D，設直線x=1上一點T（1，h），
連接TC、TA，作CE⊥直線x=1，垂足是E，
由C（0，4）得點E（1，4），
在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得3²+h²=1²+（4-h）²，
∴h=1，
∴T的坐標是（1，1），
答：點T的坐標是（1，1）．

（3）（I）當0＜t≤2時，△AMP∽△AOC，
∴

PM

CO

=

AM

AO

，PM=2t，
AQ=6-t，
∴S=

1

2

PM•AQ=

1

2

×2t（6-t）=-t²+6t=-（t-3）²+9，
當t=2時S的最大值為8；
（II）當2＜t≤3時，
作PM⊥x軸于M，作PF⊥y軸于點F，

則△COB∽△CFP，
又∵CO=OB，
∴FP=FC=t-2，PM=4-（t-2）=6-t，AQ=4+

3

2

（t-2）=

3

2

t+1，
∴S=

1

2

PM•AQ=

1

2

（6-t）（

3

2

t+1）=-

3

4

t²+4t+3=-

3

4

（t-

8

3

）²+

25

3

，
當t=

8

3

時，S最大值為

25

3

，
綜合（I）（II）S的最大值為

25

3

，
答：點M的運動時間t與△APQ面積S的函數關系式是S=-t²+6t（0＜t≤2），S=

3

2

t²+4t（2＜t≤3），S的最大值是

25

3

．

點評：本題主要考查對解二元一次方程組，用待定系數法求二次函數的解析式，三角形的面積，二次函數的最值等知識點的連接和掌握，能綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．