Question

我們知道，經過原點的拋物線的解析式可以是y=ax²+bx（a≠0）
（1）對于這樣的拋物線：
當頂點坐標為（1，1）時，a=______；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，a與m之間的關系式是______
（2）繼續探究，如果b≠0，且過原點的拋物線頂點在直線y=kx（k≠0）上，請用含k的代數式表示b；
（3）現有一組過原點的拋物線，頂點A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，橫坐標依次為1，2，…，n（為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B₁，B₂，…，B_n，以線段A_nB_n為邊向右作正方形A_nB_nC_nD_n，若這組拋物線中有一條經過D_n，求所有滿足條件的正方形邊長．

Answer 1

解：（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴，
解得，，
即當頂點坐標為（1，1）時，a=-1；
當頂點坐標為（m，m），m≠0時，，
解得，
則a與m之間的關系式是：a=-或am+1=0．
故答案是：-1；a=-或am+1=0．

（2）∵a≠0，
∴y=ax²+bx=a（x+）²-，
∴頂點坐標是（-，-）．
又∵該頂點在直線y=kx（k≠0）上，
∴k（-）=-．
∵b≠0，
∴b=2k；

（3）∵頂點A₁，A₂，…，A_n在直線y=x上，
∴可設A_n（n，n），點D_n所在的拋物線頂點坐標為（t，t）．
由（1）（2）可得，點D_n所在的拋物線解析式為y=-x²+2x．
∵四邊形A_nB_nC_nD_n是正方形，
∴點D_n的坐標是（2n，n），
∴-（2n）²+2•2n=n，
∴4n=3t．
∵t、n是正整數，且t≤12，n≤12，
∴n=3，6或9．
∴滿足條件的正方形邊長是3，6或9．
分析：（1）利用頂點坐標公式（-，）填空；
（2）首先，利用配方法得到拋物線的解析式y=a（x+）²-，則易求該拋物線的頂點坐標（-，-）；
然后，把該頂點坐標代入直線方程y=kx（k≠0），即可求得用含k的代數式表示b；
（3）根據題意可設可設A_n（n，n），點D_n所在的拋物線頂點坐標為（t，t）．由（1）（2）可得，點D_n所在的拋物線解析式為y=-x²+2x．所以由正方形的性質推知點D_n的坐標是（2n，n），則把點D_n的坐標代入拋物線解析式即可求得4n=3t．然后由n、t的取值范圍來求點A_n的坐標，即該正方形的邊長．
點評：本題考查了待定系數法求二次函數的解析式，二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的頂點坐標公式以及正方形的性質．解答（3）題時，要注意n的取值范圍．