Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E為線段BO上一點，連接CE，將CE繞點C順時針旋轉90°得到CF，連接EF交CD于點G．

（1）若AB＝4，BE＝，求△CEF的面積．

（2）如圖2，線段FE的延長線交AB于點H，過點F作FM⊥CD于點M，求證：BH+MG＝BE；

（3）如圖3，點E為射線OD上一點，線段FE的延長線交直線CD于點G，交直線AB于點H，過點F作FM垂直直線CD于點M，請直接寫出線段BH、MG、BE的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）見解析；（3）BH﹣MG＝BE．

【解析】

（1）如圖1中，利用勾股定理計算CE的長，由旋轉可知△CEF是等腰直角三角形，可得結論；

（2）如圖2，過E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，證明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分線的性質得EP＝EN＝FM，證明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由線段的和可得結論；

（3）如圖3，構建輔助線，構建全等三角形，證明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，證明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得結論．

（1）解：在正方形ABCD中，AB＝4，

∴AO＝CO＝OB＝2，

∵BE＝ ，

∴OE＝，

∵AC⊥BD，

∴∠COE＝90°，

∴CE＝ ,

由旋轉得：CE＝CF，∠ECF＝90°，

∴△CEF的面積＝；

（2）證明：如圖2，過E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠BCD＝∠ECF＝90°，

∴∠PCE＝∠MCF，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△CMF（AAS），

∴EP＝FM，

∵EP⊥BC，EN⊥AB，BE平分∠ABC，

∴EP＝EN，

∴EN＝FM，

∵FM⊥CD，

∴∠FMG＝∠ENH＝90°，

∵AB∥CD，

∴∠NHE＝∠MGF，

∴△NHE≌△MGF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH+MG＝BH+NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH+MG＝BE；

（3）解：BH﹣MG＝BE，理由是：

如圖3，過E作EN⊥AB于N，交CG于P，

∵EP⊥BC，FM⊥CD，AB∥CD，

∴EP⊥CD，

∴∠EPC＝∠FMC＝90°，

∵∠M＝∠ECF＝90°，

∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，

∴∠ECP＝∠CFM，

∵CE＝CF，

∴△CPE≌△FMC（AAS），

∴PC＝FM，

∵△DPE是等腰直角三角形，

∴PE＝PD，

∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，

∵AB∥CD，

∴∠H＝∠FGM，

∵∠ENH＝∠M＝90°，

∴△HNE≌△GMF（AAS），

∴NH＝MG，

∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，

∵△BEN是等腰直角三角形，

∴BN＝BE，

∴BH﹣MG＝BE．