Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2﹣4mx（m≠0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．
（1）求點A，B的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）過點B的直線l與y軸交于點C，且tan∠ACB=2，直接寫出直線l的表達式；
（3）如果點P（x1 ， n）和點Q（x2 ， n）在函數y=mx2﹣4mx（m≠0）的圖象上，PQ=2a且x1＞x2 ， 求x12+ax2﹣6a+2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當y=mx2﹣4mx=mx（x﹣4）=0時，x1=0，x2=4，

∵點A在點B的左側，

∴A點坐標為（0，0），B點坐標為（4，0）．

拋物線對稱軸為直線：x=﹣ =2

（2）解：設直線l的表達式為y=kx+b（k≠0）．

當點C在y軸正半軸時，點C的坐標為（0，2），

將B（4，0）、C（0，2）代入y=kx+b中，

，解得： ，

此時直線l的表達式為y=﹣ x+2；

當點C在y軸負半軸時，點C的坐標為（0，﹣2），

將B（4，0）、C（0，﹣2）代入y=kx+b中，

，解得： ，

此時直線l的表達式為y= x﹣2．

綜上所述：直線l的表達式為y=﹣ x+2或y= x﹣2

（3）解：∵點P（x1，n）和點Q（x2，n）在函數y=mx2﹣4mx（m≠0）的圖象上，

∴點P與點Q關于對稱軸x=2對稱．

∵PQ=2a，x1＞x2，

∴x1=2+a，x2=2﹣a，

∴x12+ax2﹣6a+2=（2+a）2+a（2﹣a）﹣6a+2=6．

【解析】（1）把y=0代入拋物線的解析式，解一元二次方程即可求出x的值，由點A在點B的左側，從而得出A、A兩點的坐標；（2）此題分兩種情況：點C在在y軸負半軸時與點C在在y軸正半軸時，設直線l的表達式為y=kx+b（k≠0），由tan∠ACB=2得出C點的坐標，將B、C兩點的坐標分別代入y=kx+b得出方程組，解方程組得出k,b的值即可；（3）由P、Q兩點的縱坐標及都在拋物線上知點P與點Q關于對稱軸x=2對稱，由PQ=2a，x1＞x2，得x1=2+a，x2=2﹣a，代入x12+ax2﹣6a+2即可。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解確定一次函數的表達式的相關知識，掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法，以及對二次函數的性質的理解，了解增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．