Question

在矩形ABCD中，AB=1，AD=，AF平分∠DAB，過C點作CEBD于E，延長AF、EC交于點H，下列結論中：①AF=FH；②B0=BF；③CA=CH；④BE=3ED；正確的個數為(  )

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

C

解析試題分析：根據矩形的性質可得OA=OB=OC=OD，由AD=，AB=1根據特殊角的銳角三角函數值可求出∠ADB=30°，即得∠ABO=60°，從而可證得△ABO是等邊三角形，即得AB=BO=AO=OD=OC=DC，推出BF=AB，求出∠H=∠CAH=15°，求出DE=EO，再依次分析各小題即可作出判斷．
根據已知條件不能推出AF=FH，故①錯誤；
解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=，AB=1，
∴tan∠ADB=，
∴∠ADB=30°，
∴∠ABO=60°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AC=BD，AC=2AO，BD=2BO，
∴AO=BO，
∴△ABO是等邊三角形，
∴AB=BO，∠AOB=∠BAO=60°=∠COE，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB，
∴∠BAF=∠AFB，
∴AB=BF，
∵AB=BO，
∴BF=BO，故②正確；
∵∠BAO=60°，∠BAF=45°，
∴∠CAH=15°，
∵CE⊥BD，
∴∠CEO=90°，
∵∠EOC=60°，
∴∠ECO=30°，
∴∠H=∠ECO-∠CAH=30°-15°=15°=∠CAH，
∴AC=CH，故③正確；
∵△AOB是等邊三角形，
∴AO=OB=AB，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，
∴DC=OC=OD，
∵CE⊥BD，
∴DE=EO=DO=BD，
∴BE=3ED，故④正確；
∴正確的有3個，
故選C．
考點：矩形的性質，平行線的性質，角平分線的性質，三角形的性質和判定，等邊三角形的性質和判定
點評：本題知識點較多，綜合性強，是中考常見題，一般是中考壓軸題，難度較大，需特別注意.