Question

如圖，平行四邊形OABC的頂點O為坐標原點，A點在X軸正半軸上，∠COA=60°，OA=10cm，OC=4cm，點P從C點出發沿CB方向，以1cm/s的速度向點B運動；點Q從A點同時出發沿AO方向，以3cm/s的速度向原點運動，其中一個動點達到終點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求點C，B的坐標（結果用根號表示）
（2）從運動開始，經過多少時間，四邊形OCPQ是平行四邊形；
（3）在點P，Q運動的過程中，四邊形OCPQ有可能成為直角梯形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由；
（4）在點P、Q運動過程中，四邊形OCPQ有可能成為菱形嗎？若能，求出運動時間；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，
∵∠COA=60°，
∴∠1=30°，
∴OE=CO=2cm，
在Rt△COE中，CE===2，
∴C點坐標是（2，2），
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴CO=AB，CO∥AB，
∵CE⊥OA，過B作BF⊥OA，
∴CE=BF=2（平行線之間的距離相等），
∴Rt△COE≌Rt△BAF，
∴AF=EO=2，
∴OF=OA+AF=12（cm），
∴B點坐標是（12，2）；

（2）設從運動開始，經過x秒，四邊形OCPQ是平行四邊形，
10-3x=x，
解得：x=2.5，
故運動開始，經過2.5秒，四邊形OCPQ是平行四邊形；

（3）四邊形OCPQ能成為直角梯形．
設經過t秒鐘，四邊形OCPQ是直角梯形，
如圖所示，四邊形CEQP是矩形則有CP=EQ，
t=10-2-3t，
解得：t=2，
故經過2秒鐘，四邊形OCPQ是直角梯形；

（4）不能成為菱形，
如果四邊形OCPQ菱形，則CO=QO=CP=4cm，
∵OA=10cm，
∴AQ=10-4=6（cm），
則Q的運動時間是：6÷3=2（秒），
這時CP=2×1=2（cm）
∵CP≠4cm，
∴四邊形OCPQ不能成為菱形．
分析：（1）過C作CE⊥OA于E，過B作BF⊥OA于F，根據直角三角形的性質算出OE的長，再利用勾股定理即可求出CE的長，從而得到C點坐標；根據平行線間的距離相等可知CE=BF=2，再證明Rt△COE≌Rt△BAF，從而得到AF的長，即可得到B點坐標；
（2）根據平行四邊形的性質可知CP=OQ，設時間為x秒，表示出OQ、CP的長，可得到方程10-3x=x，解方程即可；
（3）設經過t秒鐘，四邊形OCPQ是直角梯形，根據四邊形CEQP是矩形則有CP=EQ=t，EQ=OA-AQ-OE=10-2-3t，則t=10-2-3t，解方程即可；
（4）如果四邊形OCPQ菱形，則CO=QO=CP=4cm，根據運動速度，算出運動時間，計算可發現不能成為菱形．
點評：此題主要考查了平行四邊形的性質，矩形的性質，直角梯形的性質，菱形的性質，是一道綜合題，關鍵是需要同學們熟練掌握各種特殊四邊形的性質，并能熟練應用．