Question

我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱(chēng)為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如線段的最小覆蓋圓就是以線段為直徑的圓．

（1）請(qǐng)分別作出圖1中兩個(gè)三角形的最小覆蓋圓（要求用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）；

（2）探究三角形的最小覆蓋圓有何規(guī)律？請(qǐng)寫(xiě)出你所得到的結(jié)論（不要求證明）；

（3）某地有四個(gè)村莊（其位置如圖2所示），現(xiàn)擬建一個(gè)電視信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到電視信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射功率最小（距離越小，所需功率越小），此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在何處？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）如圖所示：

（2）若三角形為銳角三角形，則其最小覆蓋圓為其外接圓；

若三角形為直角或鈍角三角形，則其最小覆蓋圓是以三角形最長(zhǎng)邊（直角或鈍角所對(duì)的邊）為直徑的圓．

（3）此中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在的外接圓圓心處（線段的垂直平分線與線段的垂直平分線的交點(diǎn)處）．

理由如下：

由，

，，

故是銳角三角形，

所以其最小覆蓋圓為的外接圓，

設(shè)此外接圓為⊙，直線與⊙交于點(diǎn)，

則．

故點(diǎn)在⊙內(nèi)，從而⊙也是四邊形的最小覆蓋圓．

所以中轉(zhuǎn)站建在的外接圓圓心處，能夠符合題中要求．