Question

（2009•孝感模擬）定理：若x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²+mx+n=0的兩實根，則有x₁+x₂=-m，x₁x₂=n．請用這一定理解決問題：已知x₁、x₂是關于x的一元二次方程x²-2（k+1）x+k²+2=0的兩實根，且（x₁+1）（x₂+1）=8，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：根據一元二次方程的根與系數的關系知：x₁+x₂=2（k+1），x₁x₂=k²+2，代入（x₁+1）（x₂+1）=8，即x₁x₂+（x₁+x₂）+1=8代入即可得到關于k的方程，可求出k的值，再根據△與0的關系舍去不合理的k值．
解答：解：由已知定理得：x₁x₂=k²+2，x₁+x₂=2（k+1）．
∴（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1=k²+2+2（k+1）+1=8．
即k²+2k-3=0，
解得：k₁=-3，k₂=1．
又∵△=4（k+1）²-4（k²+2）≥0．
解得：k≥，故k=-3舍去．
∴k的值為1．
點評：解題時不要只根據（x₁+1）（x₂+1）=8，求出k的值，而忽略△與零的關系．