Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，P是AB延長線上一點，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求證：
（1）AD=AE
（2）PC•CE=PA•BE．

Answer 1

分析：（1）連AC、BC，OC，如圖，根據切線的性質得到OC⊥PD，而AD⊥PC，則OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，則∠DAC=∠CAO，根據三角形相似的判定易證得Rt△ACE≌Rt△ACD，
即可得到結論；
（2）根據三角形相似的判定易證Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到結論．

解答：證明：（1）連AC、BC，OC，如圖，
∵PC是⊙O的切線，
∴OC⊥PD，
而AD⊥PC，
∴OC∥PD，
∴∠ACO=∠CAD，
而∠ACO=∠OAC，
∴∠DAC=∠CAO，
又∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴Rt△ACE≌Rt△ACD，
∴CD=CE，AD=AE；
（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中，∠CPE=∠APD，
∴Rt△PCE∽Rt△PAD，
∴PC：PA=CE：AD，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
而∠DAC=∠CAO，
∴Rt△EBC∽Rt△DCA，
∴BE：CE=CD：AD，
而CD=CE，
∴BE：CE=CE：AD，
∴BE：CE=PC：PA，
∴PC•CE=PA•BE．

點評：本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了全等三角形的判定與性質、圓周角定理得推理以及三角形相似的判定與性質．