Question

（2005•淮安）如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，CA=AO，點D在⊙O上，∠ABD=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若點P在直線AB上，⊙P與⊙O外切于點B，與直線CD相切于點E，設⊙O與⊙P的半徑分別為r與R，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證：CD是⊙O的切線，只要轉化為證明∠ODC=90°即可；
（2）連接PE，易證PE=CP，又PE=BP=R，CA=AO=OB=r，就可以得到．
解答：（1）證明：連接OD、DA；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠BDA=90°，
又∠ABD=30°，
∴AD=AB=OA（2分），
∵AC=AO，
∴∠ODC=90°，
∴CD切⊙O于點D．（4分）

（2）解：方法一：連接PE，
由（1）知∠DAB=60°；
∵AD=AC，
∴∠C=30°，（5分）
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴PE=CP，（7分）
∵PE=BP=R，CA=AO=OB=r，
∴3r=R，即．（8分）
方法二：連接PE，
又∵DE切⊙P于E，
∴PE⊥CE，
∴OD∥PE，（6分）
∴=，
即．
∴．（8分）
點評：證明切線可以證明直線經過半徑的外端點，且垂直于這條半徑．已知圓的切線可以連接圓心與切點．