Question

如圖所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．
（1）求證：△ACE≌△BCD；
（2）若AD=5，BD=12，求DE的長．

Answer 1

分析：（1）根據同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，又夾這個角的兩邊分別是兩等腰直角三角形的腰，利用SAS即可證明；
（2）根據全等三角形的對應邊相等、對應角相等可以得到AE=BD，∠EAC=∠B=45°，所以△AED是直角三角形，利用勾股定理即可求出DE長度．

解答：（1）證明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=DC．（2分）
∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA，
∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD．（3分）
在△ACE和△BCD中

AC=BC ∠ACE=∠BCD EC=DC

，
∴△ACE≌△BCD（SAS）．（5分）

（2）解：又∠BAC=45°
∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，
即△EAD是直角三角形（8分）
∴DE=

AE2+AD2

=

122+52

=13．（10分）

點評：本題第一問利用邊角邊定理證明三角形全等，第二問利用全等三角形對應邊相等、對應角相等的性質．