Question

（1）觀察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（2）請你猜想出表示（1）中的特點的一般規律，用含x（x表示整數）的等式表示出來

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．
（3）請利用上述規律計算：（要求寫出計算過程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（4）請利用上述規律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）觀察（1），可得規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；
（3）由（2）中的規律，可將原式化為

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

，化簡即可求得答案；
（4）根據（2）的規律原方程變形為

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（2）由（1）可得：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（3）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（4）原方程變形為：

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
兩邊同時乘以（x-4）（x+1），得
x+1-（x-4）=x-4，
解得x=9．
經檢驗x=9是原方程的解．

點評：此題考查了分式的加減運算與分式方程的解法．此題難度適中，解題的關鍵是得到規律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．