Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分別是AB、DC邊的中點，AB=4，∠B=60°，
（1）求點E到BC邊的距離；
（2）點P為線段EF上的一個動點，過P作PM⊥BC，垂足為M，過點M作MN∥AB交線段AD于點N，連接PN、探究：當點P在線段EF上運動時，△PMN的面積是否發生變化？若不變，請求出△PMN的面積；若變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過E作EG⊥BC，垂足為G，由AB=4，E為AB的中點，得BE=2，又∠B=60°，解Rt△BEG可求EG，即為點E到BC邊的距離；
（2）過點P作PH⊥MN，垂足為H，根據平行關系，垂直關系推出∠PMH=30°，解Rt△PMH可求PH，再由面積公式求△PMN的面積．

解答：解：（1）過E作EG⊥BC，垂足為G，由AB=4，E為AB的中點，得BE=2（1分）
Rt△EBG中，sin∠B=

EG

EB

，EG=EG•sin∠B=2sin∠60°=

3

；（2分）

（2）不變（1分）
解法（一）：在梯形ABCD中，由AD∥BC，MN∥AB，得MN=AB=4（1分）
過點P作PH⊥MN，垂足為H（1分）
由MN∥AB得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°（1分）
由E、F是AB、DC邊的中點得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM
∴PM=EG=

3

（1分）
在Rt△PMH中，sin∠PMH=

PH

PM

，所以PH=PM•sin30°=

3

2

（2分）
∴S△PMN=

1

2

PH•MN=

1

2

×4×

3

2

=

3

．（2分）
解法（二）：延長MP交AD于點H，只要求出NH的長即可，評分標準可參考解法一．

點評：本題考查了解梯形問題的轉化方法，一般是將梯形問題轉化為平行四邊形、矩形、直角三角形來解題．