Question

【題目】如圖，AC是的直徑，BC切于點C，AB交于點D，BC的中點為E，連接DE.

（1）求證：

（2）連接E0交于點F填空：

①當__________時，以D，E，C，O為頂點的四邊形是正方形；

②當______________時，以A，D，E，O為頂點的四邊形是平行四邊形

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①45°；②45°

【解析】

（1）根據直徑所對的圓周角和直角三角形斜邊中線的性質即可證明；（2）①如圖，當∠B=45°時，以D，E，C，0為頂點的四邊形是正方形；根據直徑所對的圓周角是90°和全等三角形的判定先證△EOD≌△EOC，再結合（1）和∠B=45°，即可證四邊形為正方形；②如圖，利用①可證DE=OA，DE∥OA即可.

證明：（1）∵AC是直徑

∴∠ADC=90°

∴∠BDC=90°

∴△BCD是直角三角形

又∵BE=CE

∴DE=CE=BE

∴BE=DE

（2）①連接OE,OD，如圖，當∠B=45°時，以D，E，C，O為頂點的四邊形是正方形

理由：∵BC是的切線

∴AC⊥BC，∠ACB=90°

∵OD=OC，OE=OE，DE=CE

∴△EOD≌△EOC（SSS）

∴∠EDO=∠ECO=90°

∵EB=ED

∴∠B=∠EDB=45°

∴∠DEC=∠B+∠EDB=90°

∴四邊形DECO是矩形

∵OD=OC

∴矩形DECO是正方形

故答案為45°；

②如下圖，結論∠B=45°

理由：當∠B=45°時，由①可知四邊形DECO是正方形

∴DE∥OC，DE=OC

∵OA=OC

∴DE=OA

∴DE=OA，且DE∥OA

∴四邊形ADEO是平行四邊形

故答案為45°.