Question

（2005•濰坊）如圖，菱形ABCD中，AB=4，E為BC中點，AE⊥BC，AF⊥CD于點F，CG∥AE，CG交AF于點H，交AD于點G．
（1）求菱形ABCD的面積；
（2）求∠CHA的度數．

Answer 1

【答案】分析：連接AC，BD并且AC和BD相交于點O，根據菱形的性質以及垂直定理得到△ABC和△ADC都是正三角形，即AB=AC=4，再利用勾股定理求出BD的長，進而求出菱形ABCD的面積；根據正三角形的性質求出∠DAF的度數，然后利用三角形內角和定理求出∠CHA的度數．
解答：解：（1）連接AC、BD并且AC和BD相交于點O，
∵AE⊥BC，且AE平分BC，而AB=CB=AD=CD=AC，
∴△ABC和△ADC都是正三角形，
∴AB=AC=4，
因為△ABO是直角三角形，
∴BD=4，
∴菱形ABCD的面積是．

（2）∵△ADC是正三角形，AF⊥CD，
∴∠DAF=30°，
又∵CG∥AE，AE⊥BC，
∴四邊形AECG是矩形，
∴∠AGH=90°，
∴∠AHC=∠DAF+∠AGH=120°．
點評：本題綜合考查菱形的性質，垂直的定義，正三角形的性質，菱形的面積公式，三角形內角和定理．