Question

已知點A、B分別在反比例函數y=

2

x

（x＞0），y=-

8

x

（x＞0）的圖象上，且OA⊥OB，則tanB為

1

2

．

Answer 1

分析：過A作AC垂直于y軸，過B作BD垂直于y軸，利用垂直的定義可得出一對直角相等，再由OA與OB垂直，利用平角的定義得到一對角互余，在直角三角形AOC中，兩銳角互余，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的三角形相似得到三角形AOC與三角形OBD相似，利用反比例函數k的幾何意義求出兩三角形的面積，得出面積比，利用面積比等于相似比的平方求出相似比，即為OA與OB的比值，在直角三角形AOB中，利用銳角三角函數定義即可求出tan∠ABO的值．

解答：解：過A作AC⊥y軸，過B作BD⊥y軸，可得∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
∴△AOC∽△OBD，
∵點A、B分別在反比例函數y=

2

x

（x＞0），y=-

8

x

（x＞0）的圖象上，
∴S_△AOC=1，S_△OBD=4，
∴S_△AOC：S_△OBD=1：4，即OA：OB=1：2，
則在Rt△AOB中，tan∠ABO=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：此題屬于反比例綜合題，涉及的知識有：相似三角形的判定與性質，銳角三角函數定義，以及反比例函數k的幾何意義，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．