Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD．若AC⊥BD，AD+BC=10

3

，且∠ABC=60°，求CD的長．

Answer 1

分析：首先過D作DE⊥BC于E，過D作DF∥AC交BC延長線于F，把梯形轉換成平行四邊形和直角三角形的問題．求梯形的面積就變換成求三角形的面積，而求三角形的面積根據已知條件容易求出．

解答：解：作DE⊥BC于E，過D作DF∥AC交BC延長線于F，
則四邊形ADFC是平行四邊形，
∴AD=CF，DF=AC．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴DF=BD，
又∵AC⊥BD，DF∥AC，
∴BD⊥DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DE=

1

2

BF=

1

2

(AD+BC)=5

3

，
在Rt△CDE中，
∵∠DCE=60°，DE=CD•sin∠DCE，
∴5

3

=CD•sin60°，
∴CD=10．

點評：此題考查了梯形的一種常用輔助線-平移梯形的對角線，把梯形的面積問題轉換成三角形的面積的問題．