Question

如圖所示，在邊長為1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角頂點P在對角線AC上移動，直角邊PQ經過點D，另一直角邊與射線BC交于點E．
（1）試判斷PE與PD的大小關系，并證明你的結論；
（2）連接PB，試證明：△PBE為等腰三角形；
（3）設AP=x，△PBE的面積為y，
①求出y關于x 函數關系式；
②當點P落在AC的何處時，△PBE的面積最大，此時最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），然后由全等三角形的對應邊相等證明PE=PD；
（2）由正方形的四條邊相等，對角線平分對角的性質證明△APB≌△APD（SAS），然后由全等三角形的對應邊相等證明PB=PD；利用（1）的結論，由等量代換證明PE=PB，即△PBE為等腰三角形；
（3）①利用△APB≌△APD的對應邊相等知，BF=PG．在直角三角形AGP中，利用邊角關系求得BF=PG的值，所以PF=AB-GP；然后根據三角形的面積公式求得關于y與x的函數關系式；
②根據①的函數關系式y=-

1

2

x2+

2

2

x的頂點式函數關系式求最值．

解答：證：（1）過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．如圖所示．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形，
∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°；
又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2；
又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°，
∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），
∴PE=PD；

（2）∵AD=AB，∠PAB=∠PAD=45°，AP=AP，
∴△APB≌△APD（SAS），
∴PB=PD，
∴PE=PB，
∴△PBE為等腰三角形；

（3）①∵AP=x，
∴BF=PG=

2

2

x，PF=1-

2

2

x，
∴S△PBE=BF•PF=

2

2

x(1-

2

2

x)=-

1

2

x2+

2

2

x．
即y=-

1

2

x2+

2

2

x（0＜x＜

2

），
②y=-

1

2

x2+

2

2

x=-

1

2

( x-

2

2

)2+

1

4

．
∵a=-

1

2

＜0，
∴當x=

2

2

時，y最大值=

1

4

．

點評：本題綜合考查了二次函數的最值、正方形的性質、等腰三角形的性質及全等三角形的判定與性質．解答此題的關鍵是通過作輔助線：過點P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，構建全等三角形Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA），另外在求二次函數的最值時，在初中階段一般情況下是將函數的一般解析式轉化為頂點式函數解析式，然后根據函數的性質求其解析式．