Question

已知直線y=2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過點A、C和x軸上的另一點B（1，0）．
（1）求拋物線的解析式，并畫出函數圖象略圖；
（2）在直線AC上求點P，使以點A、B、P為頂點的三角形與△AOC相似；
（3）設拋物線的頂點為M，在拋物線上是否存在點Q，使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由于直線y=2x+4與x軸、y軸相交于A、C兩點，
∴當x=0時，y=4． 當y=0時，x=-2．
∴點A的坐標為（-2，0），點C的坐標為（0，4）．
又∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）
經過A（-2，O），B（1，O），C（O，4）三點，
拋物線的解析式為：y=-2x²-2x+4．
如圖，畫出函數圖象略圖．

（2）（i）由于OC⊥AO，所以過B作BP⊥x軸，交直線AC于點P₁，
則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC．
∵P_l點的橫坐標為1，把x=1代入y=2x+4得y=6．
∴P₁點的坐標為（1，6）．
（ii）∵△AOC為直角三角形，且AO=2，OC=4，∴AC=2．
過P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，∠CA0是公共角，
∴Rt△ABP₂∽Rt△ACO =，AP₂=
過B點作P₂D⊥X軸于D，則Rt△AP₂D∽Rt△ABP₂．=
∴AD=，OD=OA-AD=，
∴P₂點的橫坐標為-
把X=-代入y=2x+4得y=．P₂點的坐標為（-，）；

（3）存在．
拋物線y=-2x²-2x+4頂點M的坐標為（-，）．
假設在拋物線上存在點Q，使．S_△ABQ=8S_△AMC．
設Q的坐標為（x_Q，y_Q），對稱軸X=-與x軸交于點F．
則S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，
S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8．
當y_Q=8時，-2x²-2x+4=8，即：x²+x+2=O，
∵△=-7＜O，∴此方程無解．
當y_Q=-8時，-2x²-2x+4=-8，即：x²+x-6=0，解之得x₁=-3，x₂=2，
∴O點的坐標為（-3，-8）或（2，-8）．
∴在拋物線上存在點Q₁（-3，-8）或Q₂（2，-8），
使△ABQ的面積等于△AMC面積的8倍．
分析：（1）根據當x=0時，y=4，當y=0時，x=-2，分別求出A，B兩點坐標，再代入解析式即可求出；
（2）過B作BP⊥x軸，交直線AC于點P₁，則OC∥BP₁．△ABP∽△AOC，即可求出P點坐標，再過P₂作BP₂⊥AC交AC于P₂，在Rt△ABP₂與Rt△ACO中，求出Rt△ABP₂∽Rt△ACO 進而求出P點坐標；
（3）根據S_△AMC=S_{四邊形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△OCA=，以及S_△ABQ=AB•|y_Q|=8×，AB=3，|y_Q|=8，y_Q=±8，即可得出Q點的坐標．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的判定與性質和待定系數法求二次函數解析式等知識，利用數形結合進行分析得出是解題關鍵．