Question

如圖，⊙O的半徑為1，正方形ABCD頂點B坐標為（5，0），頂點D在⊙O上運動．
（1）當點D運動到與點A、O在同一條直線上時，試證明直線CD與⊙O相切；
（2）當直線CD與⊙O相切時，求CD所在直線對應的函數關系式；
（3）設點D的橫坐標為x，正方形ABCD的面積為S，求S與x之間的函數關系式，并求出S的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）易得∠ODC=90°，且CD與圓相交于點D，故直線CD與⊙O相切；
（2）分兩種情況，①D₁點在第二象限時，②D₂點在第四象限時，再根據相似三角形的性質，可得比例關系式，代入數據可得CD所在直線對應的函數關系；
（3）設D（x，y₀），有S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x；再根據x的范圍可得面積的最大最小值．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD⊥CD，
∵A、O、D在同一條直線上，
∴∠ODC=90°，
∴直線CD與⊙O相切．

（2）解：直線CD與⊙O相切分兩種情況：
①如圖1，設D₁點在第二象限時，
過D₁作D₁E₁⊥x軸于點E₁，設此時的正方形的邊長為a，
∴（a-1）²+a²=5²，
∴a=4或a=-3（舍去），
∵Rt△BOA∽Rt△D₁OE₁
∴

OE1

OA

=

D1E1

BA

=

OD1

OB

，
∴OE1=

3

5

，D1E1=

4

5

，
∴D1(-

3

5

，

4

5

)．
∴直線OD的函數關系式為y=-

4

3

x．
∵AD₁⊥CD₁，
∴設直線CD₁的解析式為y=

3

4

x+b，
把D₁（-

3

5

，

4

5

）代入解析式得b=

5

4

；
∴函數解析式為y=

3

4

x+

5

4

．
②如圖2，設D₂點在第四象限時，過D₂作D₂E₂⊥x軸于點E₂，
設此時的正方形的邊長為b，則（b+1）²+b²=5²，
解得b=3或b=-4（舍去）．
∵Rt△BOA∽Rt△D₂OE₂，
∴

OE2

OA

=

D2E2

BA

=

OD2

OB

，
∴OE2=

4

5

，D2E2=

3

5

，
∴D2(

4

5

，-

3

5

)，
∴直線OD的函數關系式為y=-

3

4

x．
∵AD₂⊥CD₂，
∴設直線CD₂的解析式為y=

4

3

x+b，
把D₂（

4

5

，-

3

5

）代入解析式得b=-

5

3

；
∴函數解析式為y=

4

3

x-

5

3

．

（3）解：設D（x，y₀），
∴y0=±

1-x2

，
∵B（5，0），
∴BD²=（5-x）²+（1-x²）=26-10x，
∴S=

1

2

BD²=

1

2

（26-10x）=13-5x，
∵-1≤x≤1，
∴S_最大值=13+5=18，S_最小值=13-5=8．

點評：本題難度較大，要求學生有較強的綜合分析能力及數形結合分析解決問題的能力．