Question

如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABOC的頂點A在x軸上，頂點B在反比例函數（x＞0）的圖象上．當菱形的頂點A在x的正半軸上自左向右移動時，頂點B也隨之在反比例函數（x＞0）的圖象上滑動，點C也相應移動，但頂點O始終在原點不動．
（1）如圖①，若點A的坐標為（6，0）時，求點B、C的坐標；
（2）如圖②，當點A移動到什么位置時，菱形ABOC變成正方形，請說明理由；
（3）當菱形的三個頂點在作上述移動時，菱形ABOC的面積是否會發生變化，若不發生變化，請求出菱形的面積；若發生變化，請說明變化的規律．

Answer 1

解：（1）連接BC，交OA于點M．則BC⊥OA，且OM=OA=3．
∴B的橫坐標是3，把x=3代入y=得：y=4．
則B的坐標是（3，4）．
∵B，C關于OA對稱．
∴C的坐標是（3，-4）；

（2）當菱形ABOC變成正方形時，OM=BM，則B的橫縱坐標相等．
設B的坐標是（a，a），代入y=．得a=2．
則B的坐標是（2，2）．
∴OA=4．

（3）∵四邊形ABOC是菱形．
∴菱形ABOC的面積=4直角△OBM的面積．
∵直角△OBM的面積=×12=6．
∴菱形ABOC的面積=24．
菱形的面積不變化．
分析：（1）根據菱形的對角線互相垂直平分，即可求得B的橫坐標，代入反比例函數解析式即可求得B的坐標，再根據B，C關于x軸對稱，即可求得C的坐標；
（2）當菱形ABOC變成正方形時，OM=BM，則B的橫縱坐標相等．據此即可求得B的坐標，進而求得OA的長；
（3）根據菱形被兩條對角線分成4個全等的直角三角形，再依據反比例函數中比例系數k的幾何意義，即可求解．
點評：本題是反比例函數與菱形相結合的題目，考查了菱形、正方形的性質，以及反比例函數中比例系數k的幾何意義，關鍵是根據菱形與正方形的性質確定B的坐標特點．