Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，P為BC的中點．動點Q從點P出發，沿射線PC方向以2cm/s的速度運動，以P為圓心，PQ長為半徑作圓．設點Q運動的時間為t s．
（1）求AB的長；
（2）已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在直角三角形ABC中，由AC與BC的長，利用勾股定理即可求出AB的長；
（2）由∠ACB=90°，得到AB為三角形ABC外切圓的直徑，可得出半徑OB的長，連接OP，由P為BC的中點，O為AB的中點，得到OP為三角形ABC的中位線，可得出OP等于AC的一半，求出OP的長，由Q的速度為2cm/s，時間是ts，表示出PQ的長，即為圓P的半徑，而圓P只能在圓O內部，只可能內切，利用內切時圓心距等于兩半徑相減列出關于t的方程，求出方程的解即可得到滿足題意t的值．
解答：解（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∵AC=6cm，BC=8cm，
∴根據勾股定理得：AB==10cm；

（2）∵∠ACB=90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑，
∴OB=AB=5cm，
連接OP，
∵P為BC的中點，O為AB中點，即OP為中位線，
∴OP=AC=3cm，
∵點P在⊙O內部，
∴⊙P與⊙O只能內切．
∴5-2t=3或2t-5=3，
∴t=1或4．
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4．
點評：此題考查了切線的性質，勾股定理，圓周角定理，相切兩圓的性質，以及三角形中位線定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．