Question

【題目】如圖，BD為⊙O的直徑，AB=AC，AD交BC于點E，AE=1，ED=2．
（1）求證：∠ABC=∠D；
（2）求AB的長；
（3）延長DB到F，使得BF=BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C，

∵∠C與∠D所對應的弧均為 ，

∴∠C=∠D，

∴∠ABC=∠D

（2）解：∵∠ABC=∠D，∠BAE=∠DAB，

∴△ABE∽△ADB，

∴ ，

即AB2=AE（AE+ED）=3，

解得：AB=

（3）答：直線FA與⊙O相切．理由如下：

連接OA，

∵BD為⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

在Rt△ABD中，AB= ，AD=1+2=3，

根據勾股定理得：BD=2 ，

∴OB=OA=AB= ，

∵BF=OB，

∴AB=FB=OB，即AB= OF，

∴∠OAF=90°，

則直線AF與⊙O相切．

【解析】（1）由AB=AC，利用等邊對等角得到∠ABC=∠C，再由同弧所對的圓周角相等得到∠C=∠D，等量代換即可得證；（2）由（1）的結論與公共角相等，得到△ABE與△ADB相似，由相似得比例，即可求出AB的長；（3）直線FA與⊙O相切，理由為：連接OA，由BD為直徑，得到∠BAD為直角，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的長，得到AB=OB=OA，根據BF=BO，得到AB等于FO的一半，確定出∠OAF為直角，即可得證．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和切線的判定定理的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線才能正確解答此題．