Question

如圖，四邊形OABC的頂點A（0，4），B（-2，4），C（-4，0）．過作B、C直線l，將直線l平移，平移后的直線l與x軸交于D，與y軸交于點E．
探究：當直線l向左或向右平移時（包括直線l與BC直線重合），在直線AB上是否存在P，使△PDE為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：要解答本題，需要分情況討論，當D、E、P分別為直角頂點時，根據等腰直角三角形的性質，利用三角形全等的性質可以求出P點的坐標，從而等我出結論．

解答：解：由A（0，4），B（-2，4）、C（-4，0）得：OA=4，OC=4，
直線BC：y=2x+8，
又∵BC∥DE，
∴設直線DE的解析式是：y=2x+b，
∴D（-

b

2

，0），E（0，b）．
∴OD=

1

2

b，OE=b．
①如圖1、2，以點D為直角頂點，作PP₁⊥x軸，
在Rt△ODE中，OE=2OD，
可證Rt△ODE≌Rt△P₁PD，
∴OD=PP₁=4，DP₁=OE=8．
∴OP₁=12，
∴P（-12，4），P（-4，4）．




②以點E為直角頂點，如圖3，
∴△AEP≌△ODE，
∴AE=OD，OE=AP，
∴AE=

1

2

OE，
∴OE=2OA=8，
∴AP=8，
∴P（8，4），
如圖4，可以得出△PAE≌△EOD，
∴AE=DO，PA=OE．
∴OE=2AE，
∵AE+OE=4，
∴AE=

4

3

，OE=

8

3

，
∴PA=

8

3

，
∴P（-

8

3

，4）．
以E為直角頂點，E在O點的下方不存在．


③以P為直角頂點，如圖5，作PF⊥x軸于F，
∴易得△PAE≌△PFD，
∴PA=PF=4，
∴P（-4，4）；

如圖6，作DH⊥AB于H，易得出：
△PHD≌△EAP，
∴HD=AP，AE=HP，
∴AE=8，AP=4，
∴P（4，4）．
綜上所述，P點坐標為：
P₁（-12，4），P₂（-4，4），P₃（8，4），P₄（-

8

3

，4），P₅（4，4）．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，待定系數法求一次函數的解析式的運用，解答本題的關鍵是根據題意畫出不同的輔助圖形．