Question

一家用電器開發公司研制出一種新型電子產品，每件的生產成本為18元，按定價40元出售，每月可銷售20萬件．為了增加銷量，公司決定采取降價的辦法，經市場調研，每降價1元，月銷售量可增加2萬件．
（1）求出月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（2）求出月銷售利潤z（萬元）（利潤=售價-成本價）與銷售單價x（元）之間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）；
（3）請你通過（2）中的函數關系式及其大致圖象幫助公司確定產品的銷售單價范圍，使月銷售利潤不低于480萬元．

Answer 1

解：（1）由題意得：
y=20+2（40-x）
=-2x+100．
∴y與x的函數關系式為y=-2x+100；

（2）z=（x-18）y
=（x-18）（-2x+100）
=-2x²+136x-1800，
∴z與x的函數關系式為z=-2x²+136x-1800；

（3）令z=480，得480=-2x²+136x-1800，
整理得x²-68x+1140=0，
解得x₁=30，x₂=38，
將二次函數解析式變形為z=-2（x-34）²+512畫出大致圖象如圖，
由圖象可知，要使月銷售利潤不低于480萬元，產品的銷售單價應在30元到38元之間（即30≤x≤38）．
分析：（1）根據“按定價40元出售，每月可銷售20萬件”及“經市場調研，每降價1元，月銷售量可增加2萬件”可列出月銷售量y（萬件）與銷售單價x（元）之間的函數關系式；
（2）由月銷售利潤=（銷售單價x-成本單價18）•月銷售量y（萬件），列出函數關系式；
（3）求月銷售利潤z=480萬元時，銷售單價x的值，就可確定范圍了．
點評：本題考查用列一次函數、二次函數及解決實際問題的能力．此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題．