Question

如圖，已知二次函數y=x²+bx+c（c≠0）的圖象經過點A（-2，m）（m＜0），與y軸交于點B，AB∥x軸，且3AB=2OB．
（1）求m的值；
（2）求二次函數的解析式；
（3）如果二次函數的圖象與x軸交于C、D兩點（點C在左惻）．問線段BC上是否存在點P，使△POC為等腰三角形？如果存在，求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB∥x軸，A（-2，m），
∴AB=2，
又∵3AB=2OB，
∴OB=3，
∴點B的坐標為（0，-3）
∴m=-3；

（2）∵二次函數與y軸的交于點B，
∴c=-3，
又∵圖象過點A（-2，-3），
∴-3=4-2b-3，
∴b=2，
∴二次函數解析式為y=x²+2x-3；

（3）當y=0時，有x²+2x-3=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
由題意得C（-3，0），
若△POC為等腰三角形，則有：
①當PC=PO時，點P（-，-），
②當PO=CO時，點P（0，-3），
③當PC=CO時，設直線BC的函數解析式為y=kx+n，
則有，
解得，
∴直線BC的函數解析式為y=-x-3，
設點P（x，-x-3），
由PC=CO，
得[-（x+3）]²+[-（-x-3）]²=3²，
解得：x₁=-3+，x₂=-3-（不合題意，舍去），
∴P（-3+，-），
∴存在點P（-，-）或P（0，-3）或P（-3+，-），使△POC為等腰三角形．
分析：（1）由AB∥x軸，A（-2，m），可得AB=2，又由3AB=2OB，即可求得點B的坐標，則可求得m的值；
（2）由二次函數與y軸的交于點B，可求得c的值，又由圖象過點A（-2，-3），將其代入函數解析式，即可求得b的值，則可得此二次函數解析式；
（3）由二次函數的圖象與x軸交于C、D兩點（點C在左惻），可得當y=0即可求得C的坐標，若△POC為等腰三角形，則可分別從①當PC=PO時，②當PO=CO時，③當PC=CO時去分析，即可求得滿足條件的點P的坐標．
點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，平行線的性質，函數與點的關系，以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．