Question

如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B、C；拋物線y=-x²+bx+c經過B、C兩點，并與x軸交于另一點A．
（1）求該拋物線所對應的函數關系式；
（2）設P（x，y）是（1）所得拋物線上的一個動點，過點P作直線l⊥x軸于點M，交直線BC于點N．
①若點P在第一象限內．試問：線段PN的長度是否存在最大值？若存在，求出它的最大值及此時x的值；若不存在，請說明理由；
②求以BC為底邊的等腰△BPC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用一次函數與坐標軸坐標求法，得出B、C兩點的坐標，利用待定系數法求出二次函數解析式．
（2）利用二次函數最值求法不難求出，再利用三角形面積之間的關系，可求出等腰△BPC的面積

解答：解：（1）由于直線y=-x+3經過B、C兩點，
令y=0得x=3；令x=0，得y=3，
∴B（3，0），C（0，3），
∵點B、C在拋物線y=-x²+bx+c上，于是得

-9+3b+c=0 c=3

，
解得b=2，c=3，
∴所求函數關系式為y=-x²+2x+3；

（2）①∵點P（x，y）在拋物線y=-x²+2x+3上，
且PN⊥x軸，
∴設點P的坐標為（x，-x²+2x+3），
同理可設點N的坐標為（x，-x+3），
又點P在第一象限，
∴PN=PM-NM，
=（-x²+2x+3）-（-x+3），
=-x²+3x，
=-(x-

3

2

)2+

9

4

，
∴當x=

3

2

時，
線段PN的長度的最大值為

9

4

．
②解：
由題意知，點P在線段BC的垂直平分線上，
又由①知，OB=OC，
∴BC的中垂線同時也是∠BOC的平分線，
∴設點P的坐標為（a，a），
又點P在拋物線y=-x²+2x+3上，于是有a=-a²+2a+3，
∴a²-a-3=0，
解得a1=

1+ 13

2

，a2=

1- 13

2

，（10分）
∴點P的坐標為：(

1+ 13

2

，

1+ 13

2

)或(

1- 13

2

，

1- 13

2

)，
若點P的坐標為(

1+ 13

2

，

1+ 13

2

)，此時點P在第一象限，
在Rt△OMP和Rt△BOC中，MP=OM=

1+ 13

2

，
OB=OC=3，
S_△BPC=S_{四邊形BOCP}-S_△BOC=2S_△BOP-S_△BOC=2×

1

2

•BO•PM-

1

2

BO•CO，
=2×

1

2

×3×

1+ 13

2

-

9

2

，
=

3 13 -6

2

，
若點P的坐標為(

1- 13

2

，

1- 13

2

)，此時點P在第三象限，
則S_△BPC=S_△BOP+S_△COP+S_△BOC=

1

2

×3×|

1- 13

2

|×2+

1

2

×3×3，
=

1

2

×3×

13 -1

2

×2+

9

2

=

3 13 -3+9

2

=

3 13 +6

2

，

點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式，線段垂直平分線的性質，二次函數最值問題，綜合性較強．