Question

已知：如圖，四邊形ABCD中，∠ADC=60°，∠ABC=30°，AD=CD．求證：BD²=AB²+BC²．

Answer 1

【答案】分析：將△ADB以D為旋轉中心，順時針旋轉60°，使A與C點重合，B與E點重合，連接BE，根據(jù)旋轉的性質得∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，易得△DBE為等邊三角形，則DB=BE，根據(jù)周角的定義和四邊形內角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）=60°+30°=90°，則△ECB為直角三角形，根據(jù)勾股定理得EC²+BC²=BE²，利用等線段代換即可得到結論．
解答：解：如圖，
將△ADB以D為旋轉中心，順時針旋轉60°，使A與C點重合，B與E點重合，連接BE，
∴∠ABD=∠CED，∠A=∠ECD，AB=CE，DB=DE，
又∵∠ADC=60°，
∴∠BDE=60°，
∴△DBE為等邊三角形，
∴DB=BE，
又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-（360°-∠ADC-∠ABC）
=60°+30°
=90°，
∴△ECB為直角三角形，
∴EC²+BC²=BE²，
∴BD²=AB²+BC²．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質以及勾股定理．