Question

如圖，在銳角△ABC內有一點P，直線AP，BP，CP分別交對邊于Q₁，Q₂，Q₃，且∠PQ₁C=∠PQ₂A=∠PQ₃B．
試問：點P是否必為△ABC的垂心？如果是，請證明；如果不是，請舉反例說明．

Answer 1

證明：設∠AQ₁C=∠AQ₂B=∠BQ₃C=α，
∵∠AQ₁C是四邊形PQ₃BQ₁外角，∠AQ₂B是四邊形PQ₁CQ₂的外角，∠BQ₃C是四邊形PQ₂AQ₃的外角，
∴P、Q₁、C、Q₂，P、Q₂、A、Q₃，P、Q₃、B、Q₁分別四點共圓，
如圖，連接Q₁Q₂，
∵∠CQ₂Q₁=∠CPQ₁=∠CBQ₃，
∴Q₂、A、B、Q₁四點共圓，
于是∠AQ₂B=∠AQ₁B，即α=180°-α=α，
∴α=90°，
∴P是△ABC的垂心．
分析：首先假設∠AQ₁C=∠AQ₂B=∠BQ₃C=α，顯然只要證明α=90°，即P是△ABC的垂心即可．因而根據若平面上四點連成四邊形的一個外角等于其內對角，四點共圓．則P、Q₁、C、Q₂，P、Q₂、A、Q₃，P、Q₃、B、Q₁分別四點共圓．連接Q₁Q₂，根據圓內接四邊形的對角和為180°，并且任何一個外角都等于它的內對角；同弧所對的圓周角相等．則可得到∠CQ₂Q₁=∠CPQ₁=∠CBQ₃，即可確定Q₂、A、B、Q₁四點共圓．觀察圖形根據∠AQ₂B與∠AQ₁B是同弧所對的圓周角，∠AQ₁C與∠AQ₁B兩角互補．那么可求出∠AQ₁C的度數．問題得解．
點評：本題考查了三角形垂心與圓，四點共圓的判定與性質，是一道綜合性較強的題目．