Question

如圖在正方形ABCD中，M、N分別是邊CD、DA的中點，則sin∠MBN的值是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  3

• C．

  3 5

  5

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：作NH⊥BM于H，設E為MN的中點，連接EH，利用△BMN∽△EMH可得出關于MH的表達式，再利用非勾股定理可解出MN、BN的值，繼而求出BH，再由三角函數的定義求解即可．

解答：解：作NH⊥BM于H，設E為MN的中點，則在Rt△MNH中，EH=

1

2

MN=EM，
在等腰△BNM和等腰△EMH中，
∵底角∠BMN=∠EMH，
∴△BMN∽△EMH，
∴

BM

NM

=

EM

MH

，
即MH=

NM•EM

BM

，①
設AD=1，則BN=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，MN=

( 1 2 )2+( 1 2 )2

=

2

2

，EM=

2

4

．
代入①式，得MH=

5

10

，
∴NH=

MN2-MH2

=

3 5

10

，
∴sin∠MBN=

NH

BN

=

3 5 10

5 2

=

3

5

．
故選D．

點評：本題考查了正方形的性質及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，判斷出△BMN∽△EMH，利用相似三角形的性質得出MH的長度，難度較大．