Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線AB與x軸交于點A，與反比例函數在第三象限內的圖象交于點B（-1，n），點C是反比例函數圖象上的點，CD⊥x軸于點D，連接CA、CO，tan∠COD=cos∠ACD，AC=2.5，AD：CD=3：4．
（1）求該反比例函數的解析式；
（2）求直線AB的解析式．

Answer 1

分析：（1）先根據AD：CD=3：4可設AD=3x，CD=4x，由勾股定理可知AC=5x，再由AC=2.5可求出x的值，進而得出CD及AD的長度，再由tan∠COD=cos∠ACD可得出

CD

OD

=

CD

AC

可求出OD得長度，故可得出C點坐標，利用待定系數法即可求出反比例函數的解析式；
（2）先把點B（-1，n）代入（1）中所求反比例函數解析式可得出n的值，故可得出B點坐標，再由（1）中OD及AD的長可得出A點坐標，利用待定系數法即可求出直線AB的解析式．

解答：解：（1）∵CD⊥x軸于點D，AD：CD=3：4，
∴設AD=3x，CD=4x，AC=

CD2+AD2

=

(4x)2+(3x)2

=5x，
∵AC=2.5，
∴5x=2.5，解得x=0.5，
∴AD=3×0.5=1.5，CD=4×0.5=2，
∵tan∠COD=cos∠ACD，
∴

CD

OD

=

CD

AC

，即

2

OD

=

2

2.5

，解得OD=2.5，
∴C（2.5，2），
設此反比例函數的解析式為：y=

k

x

，
將C（2.5，2）代入y=

k

x

得，
k=2.5×2=5；
故反比例函數的解析式為y=

5

x

；

（2）∵點B（-1，n）在反比例函數y=

5

x

的圖象上，
∴n=

5

-1

=-5，則B點坐標為（-1，-5），
由（1）可知，OD=2.5，AD=1.5，故OA=2.5+1.5=4，
則A點坐標為（4，0），
設函數解析式為y=kx+b，將A（4，0），B（-1，-5）分別代入解析式得，

4k+b=0 -k+b=-5

，
解得，

k=1 b=-4

，
函數解析式為y=x-4．

點評：本題考查了反比例函數綜合題，涉及待定系數法求反比例函數解析式、求一次函數解析式以及三角函數的相關應用，綜合性較強，要認真解答．