Question

（2007•開封）已知拋物線y=x²-2x+m與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₂＞x₁），
（1）若點P（-1，2）在拋物線y=x²-2x+m上，求m的值；
（2）若拋物線y=ax²+bx+m與拋物線y=x²-2x+m關于y軸對稱，點Q₁（-2，q₁）、Q₂（-3，q₂）都在拋物線y=ax²+bx+m上，則q₁、q₂的大小關系是______；
（請將結論寫在橫線上，不要寫解答過程）；（友情提示：結論要填在答題卡相應的位置上）
（3）設拋物線y=x²-2x+m的頂點為M，若△AMB是直角三角形，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把P坐標代入所給的函數解析式即可；
（2）關于y軸對稱，函數的開口方向不變還是開口向上，對稱軸也關于y軸對稱．原來的對稱軸是x=1，那么新函數的對稱軸是x=-1，Q₁，Q₂都在對稱軸的左側，那么y隨x的增大而減小．∴q₁＜q₂；
（3）∵AM=MB，△AMB是直角三角形，只有∠AMB=90°，此三角形為等腰直角三角形．作出底邊上的高后，底邊上的高等于等于點A到中點的距離．
解答：解：（1）∵點P（-1，2）在拋物線y=x²-2x+m上，（1分）
∴2=（-1）²-2×（-1）+m，（2分）
∴m=-1．（3分）

（2）解：q₁＜q₂（7分）

（3）∵y=x²-2x+m
=（x-1）²+m-1
∴M（1，m-1）．（8分）
∵拋物線y=x²-2x+m開口向上，
且與x軸交于點A（x₁，0）、B（x₂，0）（x₁＜x₂），
∴m-1＜0，
∵△AMB是直角三角形，又AM=MB，
∴∠AMB=90°△AMB是等腰直角三角形，（9分）
過M作MN⊥x軸，垂足為N．
則N（1，0），
又NM=NA．
∴1-x₁=1-m，
∴x₁=m，（10分）
∴A（m，0），
∴m²-2m+m=0，
∴m=0或m=1（不合題意，舍去）．（12分）
點評：點在函數解析式上，這個點的橫縱坐標就適合這個函數解析式，二次函數的增減性跟對稱軸有關．