Question

【題目】已知：如圖，AB為的直徑，弦垂足為E，點H為弧AC上一點．連接DH交AB于點F，連接HA、BD，點G為DH上一點，連接AG，．

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，連接HC，若，求證：；

（3）如圖3，連接交于點K，若點F為DG的中點，，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）根據同弧所對的圓周角相等，進行角度計算，得，進而得到，即可證明；

（2）連接AC、AD、CF，根據同弧所對的圓周角相等，進行角度計算，得，進而得到，再根據已知，得到；

（3）在上截取，過點C作于點M，通過證明≌得到，進而得到，再根據F為DG中點，得到，通過勾股定理逆用，證明，再通過解得，解△CDH得，求得OF、OH，逆用勾股定理證明，易求，，最后求得的值．

（1）證明：如圖，設為，

∵，

∴，

∵，

∴

∴，

∵與為同對弧所對的圓周角，

∴，

∴，

∴

∴

（2）如圖，連接AC、AD、CF，

∵AB為直徑，，

∴，

∴垂直平分，

∴，，

∴，，

∴，即，

設，，

∵與為同對弧AH所對的圓周角，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵AB為直徑，

∴，

∴，

∵與為同對弧BH所對的圓周角，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴；

（3）如圖，在上截取，

∵與同對弧AH所對的圓周角，

∴，

∵AB為直徑，且

∴=，

∴，

∴≌，

∴，

∵，

∴，

∴，

設，則，，

∵F為DG中點，

∴，

∴，FD=CF=3k，

在中，由勾股定理逆定理得，

過點C作于點M，

由△HCF面積，可求CM=，

∴，

∴，

解得，

易求，，

由勾股定理逆定理得，

易求，，

∴．