Question

（人教版）已知平面直角坐標系中，B（-3，0），A為y軸正半軸上一動點，半徑為

5

2

的⊙A交y軸于點G、H（點G在點H的上方），連接BG交⊙A于點C．

（1）如圖①，當⊙A與x軸相切時，求直線BG的解析式；
（2）如圖②，若CG=2BC，求OA的長；
（3）如圖③，D為半徑AH上一點，且AD=1，過點D作⊙A的弦CE，連接GE并延長交x軸于點F，當⊙A與x軸相離時，給出下列結論：①

OG2

OF

的值不變；②OG•OF的值不變．其中有且只有一個結論是正確的，請你判斷哪一個結論正確，證明正確的結論并求出其值．

Answer 1

分析：（1）根據題意應先求出G點的坐標，再將B、G兩點的坐標代入一次函數關系式y=kx+b中；
（2）由題意需過點C作CM⊥GH于點M，再利用比例線段求解；
（3）需連接CH、EH，作DN⊥EG于點N，再求

OG2

OF

的值．

解答：解：（1）⊙A與x軸相切，OA=

5

2

，G（0，5）．
設直線BG的解析式為：y=kx+b，將B、G兩點的坐標代入一次函數關系式y=kx+b中，

-3k+b=0 b=5

，
解得：

k= 5 3 b=5

得出直線BG的解析式為：y=

5x

3

+5，
y=

5x

3

+5．

（2）
過點C作CM⊥GH于點M，則CM∥BO，
∴△GCM∽△GBO，
∴

CG

BC

=

CM

BO

，
∵CG=2BC，B0=3，
∴

CM

3

=

2

3

，
∴CM=2．
設GM=x，則MH=5-x，
∴x（5-x）=2²，
解得：x_l=1，x₂=4，
∴MG=1或MG=4．
GO=6或GO=

3

2

，
當GO=

3

2

＜

5

2

，
則A點在y軸的負半軸，不合題意，故舍．
∴GO=6．∴OA=GO-AG=

7

2

．

（3）

OG2

OF

的值不變，其值為7．
證明：連接CH、EH，作DN⊥EG于點N，則DN∥HE．
OG=OB•

DN

NE

①，
同理OG=FO•

GN

DN

②，

OG2

OF

=0B•

GN

NE

=7，
故

OG2

OF

的值不變，其值為7．

點評：此題作為壓軸題，綜合考查函數、方程與圓的切線，三角形相似的判定與性質等知識．