Question

【題目】定義：有一組對邊平行，有一個內角是它對角的一半的凸四邊形叫做半對角四邊形，如圖1，直線，點，在直線上，點，在直線上，若，則四邊形是半對角四邊形．

（1）如圖1，已知，，，若直線，之間的距離為，則AB的長是____，CD的長是______；

（2）如圖2，點是矩形的邊上一點，，．若四邊形為半對角四邊形，求的長；

（3）如圖3，以的頂點為坐標原點，邊所在直線為軸，對角線所在直線為軸，建立平面直角坐標系．點是邊上一點，滿足．

①求證：四邊形是半對角四邊形；

②當，時，將四邊形向右平移個單位后，恰有兩個頂點落在反比例函數的圖象上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；；（2）AD=3；（3）①證明見解析；②的值為為或．

【解析】

（1）過點作于點，過點作于點，通過解直角三角形可求出，的長；

（2）根據半對角四邊形的定義可得出，進而可得出，由等角對等邊可得出，結合即可求出的長；

（3）①由平行四邊形的性質可得出，，進而可得出，根據等腰三角形的性質及三角形外角的性質可得出，再結合半對角四邊形的定義即可證出四邊形是半對角四邊形；

②由平行四邊形的性質結合，可得出點，，的坐標，分點，落在反比例函數圖象上及點，落在反比例函數圖象上兩種情況考慮：利用平移的性質及反比例函數圖象上點的坐標特征可得出關于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出值；同可求出值．綜上，此題得解．

解：（1）如圖1，過點作于點，過點作于點．

，

，．

在中，；

在中，．

故答案為：2；．

（2）如圖2，

四邊形為半對角四邊形，

，

，

，

．

（3）如圖3，

①證明四邊形為平行四邊形，

，，

，

．

又，

四邊形是半對角四邊形；

②由題意，可知：點的坐標為，，點的坐標為，，點的坐標為．

當點，向右平移個單位后落在反比例函數的圖象上時，，

解得：，

；

當點，向右平移個單位后落在反比例函數的圖象上時，

，

解得：，

．

綜上所述：的值為為或．