Question

已知兩個關于x的二次函數y₁與y₂，y₁=a（x-k）²+2（k＞0），y₁+y₂=x²+6x+12；當x=k時，y₂=17；且二次函數y₂的圖象的對稱軸是直線x=-1．
（1）求k的值；
（2）求函數y₁，y₂的表達式；
（3）在同一直角坐標系內，問函數y₁的圖象與y₂的圖象是否有交點？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意把y₁代入y₁+y₂=x²+6x+12中即可求出y₂，又當x=k時，y₂=17，代入函數解析式，求出k的值；
（2）根據k的值及y₂的圖象的對稱軸求出a的值，即可求出二次函數的解析式；
（3）根據題意畫出各函數的圖象，便可直接解答；

解答：解：（1）由y₁=a（x-k）²+2，y₁+y₂=x²+6x+12，
∴y₂=（y₁+y₂）-y₁，
=x²+6x+12-a（x-k）²-2，
=x²+6x+10-a（x-k）²，
又∵當x=k時，y₂=17，
即k²+6k+10=17，
∴k₁=1，或k₂=-7（舍去），
故k的值為1；

（2）由k=1，得y₂=x²+6x+12-a（x-1）²-2=（1-a）x²+（2a+6）x+10-a，
∴函數y₂的圖象的對稱軸為x=-

2a+6

2(1-a)

，
∴-

2a+6

2(1-a)

=-1，
∴a=-1，
所以y₁=-x²+2x+1，y₂=2x²+4x+11；

（3）由y₁=-（x-1）²+2，得函數y₁的圖象為拋物線，其開口向下，
頂點坐標為（1，2）；
由y₂=2x²+4x+11=2（x+1）²+9，得函數y₂的圖象為拋物線，其開口向上，頂點坐標為（-1，9）；
故在同一直角坐標系內，函數y₁的圖象與y₂的圖象沒有交點．

點評：本題是一道函數壓軸題，主要考查了二次函數的性質、一元二次方程等知識，難度比較恰當解第3小題時要學會畫圖，比較直觀的看出它們是否有交點，再予以說明．