Question

（2012•潮陽區模擬）在一組數列：a₁，a₂，a₃，…，a_n中，已知a₁=1-

1

π

，且a₂=1-

1

a1

，a₃=1-

1

a2

，…，a_n=-

1

an-1

．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根據以上計算過程發現的規律可求出：a₂₀₁₂=

-

1

π-1

；
（3）求a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）將a₁的值代入a₂=1-

1

a1

中求出a₂的值，將a₂的值代入a₃=1-

1

a2

中求出a₃的值，將a₃的值代入a4=-

1

a3

即可求出a4的值；
（2）根據上述計算過程得到其值的規律以三個數循環，由2012除以3的余數為2，即可確定出所求的值；
（3）先計算出a₁a₂a₃的值，根據總結得到規律發現：a₁=a₄=a₇=…=a₂₀₁₁，a₂=a₅=a₈=…=a₂₀₁₂，a₃=a₆=a₉=…=a₂₀₁₀，進而得到a₁a₂a₃=a₂a₃a₄=a₃a₄a₅=…=a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）當a₁=1-

1

π

時，a₂=1-

1

a1

=1-

1

1- 1 π

=1-

π

π-1

=-

1

π-1

，
a₃=1-

1

1-a2

=1-

1

- 1 π-1

=π，a₄=1-

1

a3

=1-

1

π

；
（2）∵2012÷3=670…2，
∴a₂₀₁₂=-

1

π-1

；
（3）由（1）得：a₁a₂a₃=（1-

1

π

）×（-

1

π-1

）×π=-1；
且有一下規律：a₁=a₄=a₇=…=a₂₀₁₁，a₂=a₅=a₈=…=a₂₀₁₂，a₃=a₆=a₉=…=a₂₀₁₀，
∴a₁a₂a₃=a₂a₃a₄=a₃a₄a₅=…=a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1，
則a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1×2010=-2010．
故答案為：（2）-

1

π-1

點評：此題考查了分式的混合運算，分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式，約分時分式的分子分母出現多項式，應將多項式分解因式后再約分．