Question

已知：如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，點P是AD邊上一個動點，PE⊥PC，PE交AB于點E，對應點E也隨之在AB上運動，連接EC．
（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的長；
（2）當∠PEC=30°時，求AP的長．

Answer 1

分析：（1）可證明△AEP∽△DPC，則

PE

CP

=

AP

DC

，又因為△PEC是等腰三角形，則PE=CP，AP=DC=4，從而得出PD；
（2）設PD=x，則AP=7-x，由（1）得出比例式，即可求出x，進而得出AP的長．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴

PE

CP

=

AP

DC

，（2分）
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）

（2）設PD=x，則AP=7-x，
∵

PE

CP

=

AP

DC

，
∴

PE

CP

=

7-x

4

，（4分）
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴

CP

PE

=tan30°=

3

3

，
∴

PE

CP

=

3

，
∴

7-x

4

=

3

，
∴x=7-4

3

，
∴AP=4

3

．（5分）

點評：本題是一道綜合性的題目，考查了相似三角形的判定和性質、矩形的性質、等腰三角形的性質以及解直角三角形等有關知識的綜合運用．