Question

如圖，△ABC中，∠B=90°，弦AB=3，弦BC=4．若有一半徑為2的圓分別與弦AB，弦AB相切，下列方法中能確定此圓圓心的是（ ）

A．∠B的角平分線與弦AC交點
B．弦AB的中垂線與弦BC中垂線的交點
C．∠B的角平分線與弦AB中垂線的交點
D．∠B的角平分線與弦BC中垂線的交點

Answer 1

【答案】分析：由圓O分別與AB、BC相切，根據切線的性質得到圓心O到AB、CB的距離都等于半徑，根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上，可得出圓心O一定在∠ABC的角平分線上，因為圓的半徑為2，圓心到AB的距離為2，又BC=4，且∠B=90°，得到BC的中垂線上的點到AB的距離為2，進而得到∠B的角平分線與BC的中垂線的交點即為圓心O，即可得到正確的選項．
解答：解：∵圓O分別與AB、BC相切，
∴OE=OD=r，且OE⊥AB，OD⊥BC，
∴圓心O在∠ABC的角平分線上，
∵OE=r=2，BC=4，且∠B=90°，
∴BC的中垂線上的點到AB的距離為2，
∴∠ABC的角平分線與BC的中垂線的交點即為圓心0．
如圖所示：

故選D．
點評：此題考查了切線的性質，角平分線的判定與性質，以及平行線的性質，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．