Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．動點P、Q同時從A點出發：點P以3cm/s的速度沿A?D?C的路線運動，點Q以4cm/s的速度沿A?B?C的路線運動，且P、Q兩點同時到達點C．
（1）求梯形ABCD的面積；
（2）設P、Q兩點運動的時間為t（秒），四邊形APCQ的面積為S（cm²），試求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的t，使得四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過點D作DE⊥BC于點E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根據勾股定理得EC=15cm．由題意得=，
∴=．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面積===250（cm²）．

（2）當P、Q兩點運動的時間為t（秒）時，點P運動的路程為3t（cm），點Q運動的路程為4t（cm）．
①當0＜t≤時，P在AD上運動，Q在AB上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②當＜t≤5時，P在DC上運動，Q在AB上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③當5＜t＜10時，P在DC上運動，Q在BC上運動．
此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．

（3）①當0＜t≤時，由S=70t=250×，解得t=．
②當＜t≤5時，由S=34t+60=250×，解得t=．
又∵＜t≤5，
∴t=不合題意，舍去．
③當5＜t＜10時，由S=-46t+460=250×，
解得t=．
∴當t=或t=時，四邊形APCQ的面積恰為梯形ABCD的面積的．
分析：（1）過點D作DE⊥BC于點E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．在Rt△DEC中，根據勾股定理得EC=15cm．由題意得
=，由此可以求出AD的長，然后可以求出梯形的面積；
（2）設P、Q兩點運動的時間為t，則點P運動的路程為3t（cm），點Q運動的路程為4t（cm）．
①當0＜t≤時，P在AD上運動，Q在AB上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t；
②當＜t≤5時，P在DC上運動，Q在AB上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60；
③當5＜t＜10時，P在DC上運動，Q在BC上運動，此時四邊形APCQ的面積S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．
（3）根據（2）的函數關系式，分別把已知梯形面積的代入其中就可以求出相應的t，然后結合已知條件進行取舍
最后得到t的取值．
點評：在有關動點的幾何問題中，由于圖形的不確定性，我們常常需要針對各種可能出現的圖形對每一種可能的情形都分別進行研究和求解．換句話說，分類思想在動態問題中運用最為廣泛．