Question

國強同學喜歡用黑色棋子擺放在正多邊形的邊上來研究數的規律．請你觀察下面表格中棋子的擺放規律，并回答下面問題：

三角形				…	第n個 三角形
棋子個數	3	6	9	…	P
正方形				…	第n個 正方形
棋子個數	4	8	12	…	Q
正多邊形					第n個 正多邊形
棋子個數	3	8	15	24	M

（1）通過觀察、歸納發現可以分別用含字母n（n≥1的整數）的代數式表示P、Q、M．
則P=______，Q=______，M=______．
（2）下列數中既是三角形中的棋子數又是正方形中的棋子數的是______．
A.2013　　B.2014　 C.2015　　D.2016．

Answer 1

解：（1）P第一個圖形有3個棋子，第二個圖形有6個棋子，第三個圖形有9個棋子，…，第n個圖形有3n個棋子；
Q第一個圖形有4個棋子，第二個圖形有8個棋子，第三個圖形有12個棋子，…，第n個圖形有4n個棋子，
M第一個圖形有3個棋子，第二個圖形有8個棋子，8=（2+1）×（2+2）-（2+2）=4×2，
第三個圖形有15個棋子，15=（3+1）×（3+2）-（3+2）=5×3，
第四個圖形有24個棋子，24=（4+1）×（4+2）-（4+2），
…，
第n個圖形有n（n+2）個棋子；

（2）∵三角形中的棋子數符合3n，正方形中的棋子數符合4n，
∴既是三角形中的棋子數又是正方形中的棋子數是12的倍數，
∵2013、2014、2015、2016四個數中只有2016是12的倍數，
∴既是三角形中的棋子數又是正方形中的棋子數的是2016．
故答案為：（1）3n，4n，n（n+2）；（2）D．
分析：（1）根據P、Q的棋子數的變化特征寫出即可，M的棋子數等于邊數乘以每條邊上的棋子數，根據頂點處的棋子是公用的棋子，再減去頂點的個數即可得解；
（2）根據P、Q的表達式找出是12的倍數的數值即可．
點評：本題是對圖形變化規律的考查，難點在于觀察出多邊形時邊的表示與邊上的棋子的個數與多邊形所在圖形序數的關系．