Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，根據下列條件，求∠BPC的度數．

（1）若∠A=50°，則∠BPC=　　；

（2）從上述計算中，我們能發現：∠BPC=　　（用∠A表示）；

（3）如圖2，若BP，CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，交于點P，則∠BPC=　　．（用∠A表示），并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC=115°；（2）90°∠A；（3）∠BPC=90°﹣∠A．

【解析】

（1）先根據三角形的內角和求出∠ABC+∠ACB=130°，再由角平分線定義得：∠PBC+∠PCB=65°，從而得出∠BPC的度數；

（2）與（1）同理可得：∠BPC=90°∠A；

（3）由外角平分線的定義得：∠PBC+∠PCB（∠DBC+∠BCE），并由兩個平角和為360°和三角形內角和得出結論．

（1）∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°．

∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點P，∴∠PBC∠ABC，∠PCB∠ACB，∴∠PBC+∠PCB∠ABC∠ACB（∠ABC+∠ACB）130°=65°，∴∠BPC=180°﹣65°=115°．

故答案為：115°；

（2）∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A

由（1）得：∠PBC+∠PCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠A）=90°∠A，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°∠A）=90°∠A．

故答案為：90°∠A．

（3）∵BP，CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，∴∠PBC∠DBC，∠PCB∠BCE，∴∠PBC+∠PCB（∠DBC+∠BCE）．

∵∠DBC+∠ABC+∠ACB+∠BCE=360°，∴∠DBC+∠BCE=360°﹣（∠ABC+∠ACB）=360°﹣（180°﹣∠A）=180°+∠A，∴∠PBC+∠PCB（180°+∠A）=90°∠A，∴∠BPC=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（90°∠A）=90°∠A．

故答案為：90°∠A．