Question

如圖（1）所示，在平面直角坐標系中，二次函數y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點為D點，與x軸交于A、B兩點，點A在原點的左側，點B的坐標為（3，0），與y軸交于點C，且OB=OC，又tan∠ACO=

1

3

．
①求這個函數的表達式．
②經過C．D兩點的直線與x軸交于點E，在拋物線上是否存在這樣的點F，使以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求點F的坐標．
③如圖（2）所示，若G（2，t）是該拋物線上一點，點P是直線AG下方的拋物線上一動點，當點P運動到什么位置時，△APG的面積最大？求此時P點的坐標和△APG的最大面積．

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，易求得C、A的坐標，可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（2）根據以點A、C、E、F為頂點的四邊形為平行四邊形，由平行四邊形的性質以及二次函數的性質得出AE=CF，AE∥CF即可得出答案．
（3）易求得AC的長，由于AC長為定值，當P到直線AG的距離最大時，△APG的面積最大．可過P作y軸的平行線，交AG于Q；設出P點坐標，根據直線AG的解析式可求出Q點坐標，也就求出PQ的長，進而可得出關于△APG的面積與P點坐標的函數關系式，根據函數的性質可求出△APG的最大面積及P點的坐標，根據此時△APG的面積和AG的長，即可求出P到直線AC的最大距離．

解答：解：（1）方法一：∵點B的坐標為（3，0），與y軸交于點C，且OB=OC，又tan∠ACO=

1

3

．
∴tan∠ACO=

AO

CO

=

1

3

，
∴AO=1，
∴C（0，-3），A（-1，0），
將A、B、C三點的坐標代入得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0），
設該表達式為：y=a（x+1）（x-3），
將C點的坐標代入得：a=1，
所以這個二次函數的表達式為：y=x²-2x-3；
（注：表達式的最終結果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）如圖，在y=x²-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x²-2x-3=0，∴x₁=-1，x₂=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）²-4，∴頂點D（1，-4）．
容易求得直線CD的表達式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴E（-3，0），
∴AE=2．
在y=x²-2x-3中，令y=-3，得x₁=0，x₂=2，
∴CF=2，
∴AE=CF．
∵AE∥CF，
∴四邊形AECF為平行四邊形，此時F（2，-3）．

（3）過點P作y軸的平行線與AG交于點Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1；
設P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），PQ=-x²+x+2；
S△APG=S△APQ+S△GPQ=

1

2

(-x2+x+2)×3=-

3

2

(x-

1

2

)2+

27

8

，
當x=

1

2

時，△APG的面積最大為

27

8

；
∵AG=3

2

，P到AG的最大距離為

2S△APG

AG

=

2× 27 8

3 2

=

9

8

2

，
此時P點的坐標為(

1

2

，-

15

4

)．

點評：此題考查了二次函數解析式的確定、平行四邊形的判定、圖形面積的求法等知識，綜合性強，能力要求較高．考查學生數形結合的數學思想方法．