Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的開口向下，與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0）．與y軸交于點C，頂點為D．
（1）求頂點D的坐標．（用含a的代數式表示）；
（2）若△ACD的面積為3．
①求拋物線的解析式；
②將拋物線向右平移，使得平移后的拋物線與原拋物線交于點P，且∠PAB=∠DAC，求平移后拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知拋物線與x軸的兩交點的橫坐標分別是-3和1，設拋物線解析式的交點式y=a（x+3）（x-1），再配方為頂點式，可確定頂點坐標；
（2）①設AC與拋物線對稱軸的交點為E，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，求出點E的坐標，即可得到DE的長，然后由S_△ACD=×DE×OA列出方程，解方程求出a的值，即可確定拋物線的解析式；
②先運用勾股定理的逆定理判斷出在△ACD中∠ACD=90°，利用三角函數求出tan∠DAC=．設y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=-（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．根據正切函數的定義求出OF=1．分兩種情況進行討論：（Ⅰ）如圖2①，F點的坐標為（0，1），（Ⅱ）如圖2②，F點的坐標為（0，-1）．針對這兩種情況，都可以先求出點P的坐標，再得出m的值，進而求出平移后拋物線的解析式．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-3，0）和點B（1，0），
∴拋物線解析式為y=a（x+3）（x-1）=ax²+2ax-3a，
∵y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴頂點D的坐標為（-1，-4a）；

（2）如圖1，①設AC與拋物線對稱軸的交點為E．
∵拋物線y=ax²+2ax-3a與y軸交于點C，
∴C點坐標為（0，-3a）．
設直線AC的解析式為：y=kx+t，
則：，
解得：，
∴直線AC的解析式為：y=-ax-3a，
∴點E的坐標為：（-1，-2a），
∴DE=-4a-（-2a）=-2a，
∴S_△ACD=S_△CDE+S_△ADE=×DE×OA=×（-2a）×3=-3a，
∴-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；

②∵y=-x²-2x+3，
∴頂點D的坐標為（-1，4），C（0，3），
∵A（-3，0），
∴AD²=（-1+3）²+（4-0）²=20，CD²=（-1-0）²+（4-3）²=2，AC²=（0+3）²+（3-0）²=18，
∴AD²=CD²+AC²，
∴∠ACD=90°，
∴tan∠DAC===，
∵∠PAB=∠DAC，
∴tan∠PAB=tan∠DAC=．
如圖2，設y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4向右平移后的拋物線解析式為y=-（x+m）²+4，兩條拋物線交于點P，直線AP與y軸交于點F．
∵tan∠PAB===，
∴OF=1，則F點的坐標為（0，1）或（0，-1）．
分兩種情況：
（Ⅰ）如圖2①，當F點的坐標為（0，1）時，易求直線AF的解析式為y=x+1，
由，解得，（舍去），
∴P點坐標為（，），
將P點坐標（，）代入y=-（x+m）²+4，
得=-（+m）²+4，
解得m₁=-，m₂=1（舍去），
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x-）²+4；
（Ⅱ）如圖2②，當F點的坐標為（0，-1）時，易求直線AF的解析式為y=-x-1，
由，解得，（舍去），
∴P點坐標為（，-），
將P點坐標（，-）代入y=-（x+m）²+4，
得-=-（+m）²+4，
解得m₁=-，m₂=1（舍去），
∴平移后拋物線的解析式為y=-（x-）²+4；
綜上可知，平移后拋物線的解析式為y=-（x-）²+4或y=-（x-）²+4．
點評：此題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，勾股定理的逆定理，三角函數的定義，三角形的面積、兩函數交點坐標的求法，函數平移的規律等知識，綜合性較強，有一定難度，解題的關鍵是方程思想、數形結合思想與分類討論思想的應用．