Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=4，D是AB上的一點（不與點A、B重合），DE∥BC，交AC于點E，則 的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設AD=x， =y， ∵AB=4，AD=x，
∴ =（ ）2=（ ）2 ，
∴ = x2①，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵AB=4，AD=x，
∴ = ，
∴ = ，
∵△ADE的邊AE上的高和△CED的邊CE上的高相等，
∴ = = ②，
①÷②得：
∴y= =﹣ x2+ x，
∵AB=4，
∴x的取值范圍是0＜x＜4；
∴y= =﹣ （x﹣2）2+ ≤ ，
∴ 的最大值為 ．
所以答案是： ．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的最值和相似三角形的判定與性質，掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．