Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形的三個頂點、、．拋物線過、兩點．

（1）直接寫出點的坐標，并求出拋物線的解析式；

（2）動點從點出發．沿線段向終點運動，同時點從點出發，沿線段向終點運動．速度均為每秒1個單位長度，運動時間為秒．過點作交于點．

①過點作于點，交拋物線于點．當為何值時，線段最長？

②連接．在點、運動的過程中，判斷有幾個時刻使得是等腰三角形？請直接寫出相應的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①當時，線段最長為2；②共有三個時刻，，，

【解析】

（1）由于四邊形為矩形，所以點與點縱坐標相同，點與點橫坐標相同；

（2）①根據相似三角形的性質求出點的橫坐標表達式即為點的橫坐標表達式．代入二次函數解析式，求出縱坐標表達式，將線段最值問題轉化為二次函數最值問題解答；

②若構成等腰三角形，則三條邊中有兩條邊相等即可，于是可分，，三種情況討論．若有兩種情況時間相同，則三邊長度相同，為等腰三角形．

（1）因為點的橫坐標為4，點的縱坐標為8，軸，軸

所以點的坐標為

將、兩點坐標分別代入得

解得，

故拋物線的解析式為；

（2）①在和中，，即

∴，

∴點的坐標為

∴點的縱坐標為

∴

∵

∴當時，線段最長為2；

②依題意，共有三個時刻：

（①）當時

因為，，

所以根據兩點間距離公式，得

整理得

解得或（此時、重合，不能構成三角形，舍去）

（②）當時

因為，，

所以根據兩點間距離公式，得

整理得

解得，（此時不在矩形的邊上，舍去）

（③）當時

因為，，

所以根據兩點間距離公式，得

解得（此時、重合，不能構成三角形，舍去）或

綜上，，，．