Question

如圖，拋物線y=ax²-5ax+4經過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸的負半軸上，點C在y軸上，且AC=BC．
（1）求拋物線的對稱軸；
（2）求A點坐標并求拋物線的解析式；
（3）若點P在x軸下方且在拋物線對稱軸上的動點，是否存在△PAB是等腰三角形？若存，請直接作出；不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據拋物線的解析式，利用對稱軸公式，可直接求出其對稱軸．
（2）本題須先求出C點的坐標，再根據BC兩點關于對稱軸x=對稱，求出B點的坐標，設A點坐標（m，0），求出m即可得出點A的坐標，最后代入即可求出拋物線解析式．
（3）分三種情況討論：①以AB為腰且頂角為∠A，②以AB為腰且頂角為角B，③以AB為底，頂角為角P時．
解答：解：（1）y=ax²-5ax+4，
對稱軸：x=-=；

（2）經過△ABC的三個頂點，已知BC∥x軸，點A在x軸上，點C在y上，且AC=BC，
令x=0，y=4，可知C點坐標（0，4），
BC∥x軸，所以B點縱坐標也為4，
又∵BC兩點關于對稱軸x=對稱，
即：=，
x_B=5，
∴B點坐標（5，4）．
A點在x軸上，設A點坐標（m，0），
AC=BC，即AC²=BC²，
AC²=4²+m²，
BC=5，
∴4²+m²=5²，
∴m=±3，
∴A點坐標（-3，0），
將A點坐標（-3，0）代入y=ax²-5ax+4，
0=9a+15a+4，
a=-，
故函數關系式為：y=-x²+x+4．

（3）存在符合條件的點P共有3個．如圖所示：

點評：此題考查了二次函數的綜合應用，主要有用對稱軸公式求函數對稱軸方程，用待定系數法求函數解析式等基礎知識，還結合等腰三角形的性質考查了點的存在性問題，有一定的開放性．在解題時要注意綜合運用數形結合思想，靈活應用二次函數的圖象和性質是本題的關鍵．