Question

在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
（1）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時，顯然有：DE=AD+BE；
（2）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時，求證：DE=AD-BE；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請直接寫出這個等量關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此即可證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；
（2）由于△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，由此仍然可以證明△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)也可以解決問題；
（3）當(dāng)直線MN繞點C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時，仍然△ADC≌△CEB，然后利用全等三角形的性質(zhì)可以得到DE=BE-AD．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
又直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB=90°(已證) ∠DAC=∠ECB(已證) AC=BC(已知)

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD+CE=AD+BE；

（2）∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
而AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CE-CD=AD-BE；

（3）如圖3，
∵△ABC中，∠ACB=90°，直線MN經(jīng)過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠BCE=∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AC=BC，
∴△ADC≌△CEB，
∴CD=BE，CE=AD，
∴DE=CD-CE=BE-AD；
DE、AD、BE之間的關(guān)系為DE=BE-AD．

點評：此題需要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，也利用了直角三角形的性質(zhì)，是一個探究性題目，對于學(xué)生的能力要求比較高．